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\newcommand{\weiyuan}[1]{\ensuremath{\mathrm{d}} #1}
\newcommand{\daoshu}[2]{\frac{\weiyuan{#1}}{\weiyuan{#2}}}
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\begin{document}
\section{力矩、角动量与冲量矩}
实际上关于力矩的内容最早在初中就有涉及——就是大名鼎鼎的杠杆原理。这里我们给出更加严谨的定义：考虑一质点 $m$ 相对于一定点 $O$ 的位置矢量为 $\vec{r}$ ，我们认为其绕着定点 $O$ 转动，其受到的外力为 $\vec{F}$ ，则外力相对于 $O$ 的力矩为：
$$\vec{M}=\vec{F}\times \vec{r}$$
力矩的符号为 $M$ ，单位为 $N\cdot m$ ，请注意该单位一般不写成功或能量的单位 $J$.

质点的动量为 $\vec{p}$，其相对于点 $O$ 的角动量被定义为：
$$\vec{l}=\vec{p}\times \vec{r}$$

若力的冲量为 $I$，则其冲量矩为：
$$\vec{L}=\vec{I}\times \vec{r}$$
\subsection*{角动量与冲量矩的关系}
应用牛顿第二定律，不难发现：
$$\vec{M}=\daoshu{\vec{L}}{t}$$
这在形式上和 $\vec{F}=m\vec{a}$ 很相似.\\
类似的，我们可以得到：
$$\Delta \vec{L}=\int_{t=0}^T \vec{M}(t)\weiyuan{t}$$

在很多时候，我们讨论的是定轴转动，即物体的转动只在平面 $xOy$ 内进行，此时角动量矢量只可能在 $z$ 方向；此时可以简单地去掉矢量符号，而仅以值的正负表述力矩、角动量、冲量矩的方向。
\section{角动量守恒定律}
考虑一系统有 $N$ 个质点，第 $i$ 个质点受到的合外力的力矩为 $\vec{M}_i$ ，质点 $m_i$ 对质点 $m_j$ 的力为 $\vec{F}_{ij}$，则有：
$$\daoshu{\vec{L}_{all}}{t}=\sum_{i=1}^N \daoshu{\vec{L}_i}{t}=\sum_{i=1}^N \vec{M}_i+\sum_{1\leq i <j\leq N} (\vec{F}_{ij}\times \vec{r_j}+\vec{F}_{ji}\times\vec{r_i})$$
利用 $\vec{F}_{ij}=-\vec{F}_{ji}$，且二者一定在 $\vec{r}_{ij}=\vec{r}_i-\vec{r}_j$ 的方向上，有后面的求和每一项都为 $0$ ，因此：
$$\daoshu{\vec{L}_{all}}{t}=\sum_{i=1}^N \daoshu{\vec{L}_i}{t}=\sum_{i=1}^N \vec{M}_i$$
即总动量的变化即为受到的合外力矩的总冲量矩——当合外力矩的总冲量矩为 $0$ 时，总角动量不会发生变化.
\subsection*{总角动量与质心的关系}
当系统为刚体时，假设系统总体的转速为 $\omega$ ，那么刚体上的质点 $m_i$ 相对于质心的速度为 $v_i=r_i\omega$ ，由柯尼希定理得到：
$$E_k=\frac{1}{2}mv_c^2+\frac{1}{2}\left(\sum_{i} m_i r_i^2\right)\omega^2=\frac{1}{2}mv_c^2+\frac{1}{2}I_c\omega^2$$
式中 $I_c=\sum_{i} m_i r_i^2$ 被称为刚体（过质心转动轴）的转动惯量，它是刚体力学中一个相当关键的物理量，我们会在之后再详细讨论它。
\section{有心力场}
当力满足 $\vec{F}=F(r)\vec{e}_r$ ，即力的方向始终沿轴线方向时，该力被称为有心力；容易发现有心力满足其力矩恒为 $0$，因此全过程角动量守恒.
\subsection{基本性质}
由于 $\vec{L}$ 与速度及位矢垂直，为一守恒量，因此只受有心力作用的物体运动一定在一个平面内.

采用极坐标系，写出运动方程：
$$m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)=f(r)$$
$$m(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})=0$$
第二个式子可以导出：
$$\frac{1}{r} \daoshu{}{r} (mr^2\dot{\theta})=0$$
进一步处理，可以得到：
$$\weiyuan{A}=\frac{1}{2}r^2\weiyuan{\theta}=\frac{1}{2}r^2\dot{\theta}\weiyuan{t}$$
$$\daoshu{A}{t}=\frac{L}{2m}$$
是一个不随时间变化的常量——开普勒第二定律.

若有心力是可积的，即存在一个势能，使得 $-f(r)\weiyuan{r}=\weiyuan{U(r)}$，那么运动方程可以用角动量守恒方程和机械能守恒方程代替之，有：
$$E=\frac{1}{2}m\left((\dot{r})^2+r^2(\dot{\theta})^2\right)+U(r)$$
$$L=mr^2\theta$$
\subsection{有效势能}
$$\frac{1}{2}m\dot{r}^2+V_{eff}(r)=E$$
$$V_{eff}(r)=\frac{1}{2}mr\dot{\theta}^2+U(r)=\frac{L^2}{2mr^2}+U(r)$$
\section{万有引力}
\subsection{球壳问题}
\subsection{发射问题与第一宇宙速度}
$$\frac{GMm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$$
$$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$$
\subsection{总能量与第二宇宙速度}
$$\frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{r}=0$$
$$v=\sqrt{\frac{2GM}{r}}$$
\subsection{第三宇宙速度、引力弹弓问题}
\section{二体问题}
$$m_1 \ddot{\vec{r_1}}=\vec{f}_{12} $$
$$m_2 \ddot{\vec{r_2}}=\vec{f}_{21} $$
故：
$$\vec{f}_{12}=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2} \vec{a_{12}}$$
类似于牛顿第二定律，由此诸结论均可使用。
\end{document}
